пространство, имеющее число измерений (Размерность) более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости - двумерны, прямые - одномерны. Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства (См. Пространство) как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее выражение эта идея нашла в таких понятиях, как Топологическое пространство и, в частности, Метрическое пространство.

Простейшими М. п. являются n-мерные евклидовы пространства (См. Евклидово пространство), где n может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного евклидова пространства определяется заданием трёх её прямоугольных координат, "точка" n-мерного евклидова пространства задаётся n "координатами" x₁, x₂, ..., x_n (которые могут принимать любые действительные значения); расстояние ρ между двумя точками M(x₁, x₂, ..., x_n) и М'(у₁, y₂, ..., y_n) определяется формулой

аналогичной формуле расстояния между двумя точками обычного евклидова пространства. С сохранением такой же аналогии обобщаются на случай n-мерного пространства и другие геометрические понятия. Так, в М. п. рассматриваются не только двумерные плоскости, но и k-мерные плоскости (k < n), которые, как и в обычном евклидовом пространстве, определяются линейными уравнениями (или системами таких уравнений).

Понятие n-мерного евклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию n переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трёх). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n-мерного евклидова пространства.

Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырёхмерным пространством, элементами которого являются т. н. "мировые точки". При этом в понятии "мировой точки" (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определённое положение в пространстве с определённым положением во времени (поэтому "мировые точки" и задаются четырьмя координатами вместо трёх). Квадратом "расстояния" между "мировыми точками" М'(х', y', z', t') и М''(х'', y'', z'', t'') (где первые три "координаты" - пространственные, а четвёртая - временная) естественно считать здесь выражение

(M' M'')² = (x' - x'')² + (y' - y'')² + (z' - z'')² - c²(t' - t'')²,

где с - скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство "псевдоевклидовым".

Вообще n-мерным пространством называется топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность n. В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n-мерного евклидова пространства.

Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также лит. см. в ст. Геометрия.

полное нормированное Линейное пространство.

четырёхмерное пространство, объединяющее физическое трёхмерное пространство и время; введено Г. Минковским (См. Минковский) в 1907-1908. Точки в М. п. соответствуют "событиям" специальной теории относительности (см. Относительности теория).

Положение события в М. п. задаётся четырьмя координатами - тремя пространственными и одной временной. Обычно используются координаты x₁ = х, x₂ = у, х₃ = z, где х, у, z - прямоугольные декартовы координаты события в некоторой инерциальной системе отсчёта, и координата x₀ = ct, где t - время события, с - скорость света. Вместо xo можно ввести мнимую временную координату x₄ = ix₀ = ict.

Из специальной теории относительности следует, что пространство и время не независимы: при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) к другой пространственные координаты и время преобразуются друг через друга посредством Лоренца преобразований (См. Лоренца преобразования). Введение М. п. позволяет представить преобразования Лоренца как преобразование координат события x₁, x₂, x₃, x₄ при поворотах четырёхмерной системы координат в этом пространстве.

Основной инвариант М. п. - квадрат длины четырёхмерного вектора, соединяющего две точки - события, не меняющийся при вращениях в М. п. и равный по величине (но противоположный по знаку) квадрату четырёхмерного интервала (См. Четырёхмерный интервал) (s²_AB) специальной теории относительности:

(x_1A - x_1B)² + (х_2А - x_2B)² + (x_3A - x_3B)² + (x_4A - x_4B)² = (x_A - x_B)² + (у_А - y_B)² + (z_A - z_B)² - c²(t_A - t_B)² = -s²_AB

(индексами А и В отмечены пространственные координаты и время событий А и В соответственно). Своеобразие геометрии М. п. определяется тем, что это выражение содержит квадраты составляющих четырёхмерного вектора на временную и пространственные оси с разными знаками (такая геометрия называется псевдоевклидовой, в отличие от евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия), в которой квадрат расстояния между точками определяется суммой квадратов составляющих вектора, соединяющего точки, на соответствующие оси). Вследствие этого четырёхмерный вектор с отличными от нуля составляющими может иметь нулевую длину; это имеет место для вектора, соединяющего два события, связанных световым сигналом:

(x_A - x_B)² + (у_А - у_В)² + (z_A - z_B)² = c²(t_A - t_B)².

Геометрия М. п. позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты специальной теории относительности (изменение длин и скорости течения времени при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой и т. д.) и лежит в основе современного математического аппарата теории относительности.

Г. А. Зисман.